随伴関手

圏論

明日随伴関手の話をするのでそのための資料。

取りあえず書きかけだけど公開する。後で直す。

                                                                                                            • -

C と D はカテゴリ、F は C から D への関手。G は D から C への関手とする。

Hom_C(A,B) でカテゴリ C での対象A から対象B への射の集まりを表わすことにする。

X を C の任意の対象、P を D の任意の対象とすると G(P) は C の対象、F(X) は D の対象なので
C の世界の Hom_C(X,G(P)) と D の世界の Hom_D(F(X),P) が考えられる。

F と G が随伴対になっている状況を立体図で表現する。

X と Y は C の対象。P と Q は D の対象、
s は Y から X への射、t は P から Q への射とする。

                                F
                Y ================================> F(Y)
   Cの世界     /｜                                  /｜   Dの世界
              / ｜                                 / ｜
           s /  ｜                           F(s) /  ｜
            /   ｜               Φ_YQ           /   ｜
           /    ｜<= = = = = = = = = = = = = = =/= =>｜
          /     ｜                             /     ｜
        └    β｜           F               └      ｜Φ_YQ(β)
        X =================================> F(X)    ｜
        ｜      ｜                           ｜      ｜
        ｜      ↓                 G         ｜      ↓
        ｜      G(Q) <=======================｜====== Q
        ｜      ┐                           ｜      ┐
        ｜     /          Φ_XP              ｜     /  
        ｜<= = = = = = = = = = = = = = = = =>｜    /
      α｜   /                      Φ_XP(α)｜   /  
        ｜  / G(t)                           ｜  / t
        ｜ /                                 ｜ /
        ↓/                                  ↓/
       G(P) <================================ P
                           G

左側面がカテゴリ C の世界、右側面がカテゴリ D の世界。
上面が s が関手 F で F(s) に移る様子。
下面が t が関手 G で G(t) に移る様子。
前面が α と Φ_XP(α) が Φ_XP で対応している様子。
後面が β と Φ_YQ(β) が Φ_YQ で対応している様子。


左側面の図式と右側面の図式
         s                                F(s)
  X <---------- Y                   F(X) <------ F(Y)
  ｜           ｜                   ｜           ｜
  ｜α         ｜β                 ｜Φ_XP(α)  ｜Φ_YQ(β)
  ↓           ↓                   ↓           ↓
  G(P) ------> G(Q)                 P ----------> Q
        G(t)                               t

を考えて、
左が可換（β == G(t)・α・s）ならば
右も可換（Φ_YQ(β) == t・Φ_XP(α)・F(s)）、

逆に右が可換ならば左も可換が成り立つ。